p进数：展开有理数，何必是实数？
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长久以来，人们都将“数”等同于“实数” 。实数就如同当空烈日一般，统治着整个数学世界。文艺复兴时期的代数学家为了解方程，引入了复数 。 但即便是复数这样自然的构造，也历经了几百年才被数学界所接受。实数的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学家们惊讶地发现，包含 的完备域不一定是 ，还有可能是 进数 。 就像是星星，而 更像是月亮：月亮固然是夜空中最为明亮的，也时常盖过群星的光辉，但是星星的存在也提示着我们，这个宇宙中有更加辽远的空间等待探索。
上帝创造了整数，其他都是人类的工作。
——利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）
进数的引入动机
进数的 其实不是一个符号，而是代表某一个素数。有理数域 可以扩充为实数域 ，但是这种扩充并不是唯一的。上面所说的 进数，就是指对于任意素数 ， 都可以扩充为 进数域 。实数来自于有理数的小数展开，而 进数来自有理数的 进展开。虽然小数也有不同进制的写法，但是这与 进数本质上是不一样的：小数展开默认的是 逐次变小，而 进展开则默认 逐次变“小”。我们将在后文中解释这个问题。如下图所示，实数与 进数的地位是相同的。
首次引入 进数的是德国数学家亨泽尔（Kurt Hensel），而在他之前的库默尔（Ernst Kummer）已经隐含地使用过了这种奇妙的数字。如同库默尔一样，亨泽尔的原始工作也很难读懂。他的文章发表于 1897 年，此时“域”的概念才仅仅诞生了 4 年：1893 年，韦伯（Heinrich Martin Weber）第一次定义了域，它是一个带有加法和乘法两种运算的集合 ，也可以写作 ，满足
加法和乘法的结合律 加法和乘法的交换律 加法和乘法都有单位元（一般把加法单位元写作 ，乘法单位元写作 ） 每个元 都有加法逆元，也就是 每个非零元 都有乘法逆元，也就是 乘法对于加法满足分配律
我们熟悉的有理数 和实数 都是域。韦伯之所以这么定义，是想把 （就是模 剩余类，比如说一周七天的算数就是 ）也纳入进来。如果去掉乘法逆元的条件，上述定义就变成了所谓的交换环，最典型的例子就是整数环 。
数论的问题通常是关于 的，如果在 中允许非零元有乘法逆，就得到了 ，这个构造叫作取 的分式域。由于很多 中得到的结论都能直接套到 上（例如 中首项系数为 的多项式存在有理根当且仅当它存在整数根），所以我们通常把它们放在一起考虑。但是这两个对象的性质都很“糟糕”。例如，我们想要判断对于某一对非零的 ， 是否有有理数解 。这看上去根本无从下手。但是如果想要判断有没有实数根，就很简单了：只要 中有一个 ，就存在实数解，反之则不存在。假如 ，那么 就是一个实数解。但是如果 ，那么对于任意实数 ， 都一定 ，所以不存在实数解。很显然，存在有理数解，那就一定存在实数解，毕竟 ，但是反过来并不一定成立。那实数解的存在性对有理数解有帮助吗？答案是肯定的，为此我们需要定义希尔伯特符号（ 是“或者”， 是“并且”）：要解决有理解的判断问题，需要对于每个素数 定义希尔伯特符号 。这个定义同样初等，但是稍微麻烦一些，有兴趣的读者可以自行查阅参考文献[1]，我们之后不会涉及这个定义本身。重点在于，这个定义是可以直接计算的，所以很方便判断。数学家们证明了一个惊人的定理： 存在有理数解当且仅当 对所有 都成立。这个定理的确非常方便，但它提出了一个更加深刻的问题：既然 可以解释为判断是否有实数解，那 是否也对应着一个 的扩域，而且 当且仅当方程在这个域中存在解呢？如果的确如此，那似乎我们就能把有理数解看作是这些所有域中解的“交集”。
当然，交集的说法并不准确。就结论而言，我们要寻找的对应 的正是 进数域 ，这些所有的 和 一起，可以称为 对应的“局部域”。而 则是“整体域”。
上面的定理其实是在讲局部与整体的对应。这听起来似乎匪夷所思，明明域变大了，却从整体变成了局部。要解释这一点，我们要先了解一些几何学。
类比整数环 与多项式环
早在抽象环论诞生之前，数学家们就注意到数论与几何的相似之处。具体来说， 与 作为环的性质非常相似，比如这两个环都能做带余除法，因此它们都是欧几里得整环。这里 是以 为系数的多项式环，这个系数域就算换成别的域也会有很多相似之处，但是我们这里需要用到一些分析的方法，所以复数最为方便。顺带着，它们的分式域 和 也很相似。 就是指允许非零多项式做除法。 的元可以看作是 上的亚纯函数：它们的分母在个别点不一定不为零，所以这些函数会有趋于无穷的极点，但是这些点都是离散的，很容易处理。对于 而言，局部显然就是指其中的任何一个点。这些亚纯函数在任何点附近能展开成洛朗级数，就如同全纯函数（处处解析）能在任何点展开成泰勒级数一样，只不过洛朗级数允许存在 这样的项。例如，在 点附近，可以展开
的形式。在任何点 处我们都能定义亚纯函数 的阶 为其洛朗展开最左边那一项的次数。比如上面这个函数在 这一点的阶就是 。类似的展开也可以在 中进行。一般来说对于某个有理数 ，我们都能将它写作 的形式，其中 是互不相同的素数， 是整数，可正可负。定义 。我们有没有办法把 展开成类似
的形式呢？答案是肯定的，你可以形式化地对 做 进展开
为什么可以这样写呢？对于一般的实数除法，商的小数点后的数字会越来越长，因为我们默认数字的位数越靠后，其“大小”就越小，所以我们才能写出 这样的无穷小数。但是要做出上面这样的展开，其实是默认 的序列会越来越“小”，我们先写 ，这样只需要算 ，最后整体移动一位。计算如下
细心的读者会发现，这样的除法之所以每一步都能算出商的一位数字，依赖于 是域这个事实，所以对于不是素数的数 ， 不是域，也就不能这样展开。
这样就算出了
现在完全依靠类比，我们得到了这样的展开式。对任意素数 ，我们称这样的展开为 进展开。这样的展开与小数的进制表示非常相似，这也也解释了它的名字。但这纯粹是形式上的。我们还需要解释三个问题：
有理函数在某点的洛朗展开显然与“局部”有关，但是有理数在素数处的 进展开为什么也叫局部？ 为什么也是 的局部？ 究竟要怎么严格定义 进展开？也就是说，如何定义 ？
为什么叫局部？
我们需要把 中的点与 联系起来，这样才能知道，对于 来说，点究竟是什么意思。为此我们需要理想的概念。对于一个交换环 ，理想是一个满足以下性质的真子集 ：
对于加减法封闭； ，也就是说 的元在乘上任意 中的元之后，结果仍在 中。
这个定义原本是库默尔（Ernst Eduard Kummer）与戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）为了解决代数数域中素元分解不成立而提出的（这也是为什么叫做理想：一个非常“理想”的子集），代数几何学家们却找到了它的几何意义。我们用 来表示 中包含 的最小理想（也就是说由 生成的理想）。这是一个极大理想，也就是说，它不是任何理想的真子集。实际上，对于 中的任意点 ， 都是极大理想。而反过来， 中的所有极大理想，全都形如 。所以 的点与 的极大理想一一对应。这样我们就能考虑 的极大理想，来当作它的点了，而 的极大理想正是所有形如 的理想。
这样简单的类比其实还不能称为“几何”。这要等到格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）创造性地提出概型理论，研究 的代数几何与研究 的数论才能真正统一在一起。在这套理论中，环的素理想（本文中不需要这个概念）被称为点，而极大理想则是闭点。这套理论需要更加艰深的背景知识，本文就不做介绍了。总之，上面我们用到的洛朗展开和 进展开，都是对应两个环的闭点。如果接受这样的设定，你就会发现“局部”的说法没什么问题。
那么 在 中的展开，也就是小数展开，它算什么呢？它其实是对应有理函数在无穷远点的洛朗展开。如图所示
复平面上的任何点都可以对应于球面上的某点，只需要连接球的顶端与复平面上的点，线段一定会交于球面上的一点。这样就建立了复平面与球面（除了顶端一点）的一一对应。而如果在复平面上以任何方向接近无穷，转换到球面上，就一定会逼近顶点。这样我们就可以把这个球面当作是 的扩充，称为黎曼球面，记作 。
现在要对有理函数在无穷远点 处做洛朗展开，其实就是把 里的有理函数看作是是 的函数，然后在 处作洛朗展开。也就是
因为这样的类似性，我们上面定义的判别式才写作 。
定义
为了定义 ，我们首先得知道 是什么。从逻辑上来说，第一个定义的应该是自然数 ，然后才是 , 但是这每一步是怎么来的呢？ 是由皮亚诺公理定义的，也就是从 开始，规定每个数都有一个后继数，所以可以使用数学归纳法。随后我们要得到 ，该怎么办呢？直观来看，定义整数允许了负数的存在。但是负数究竟是什么？比如说 ，它其实是 ，也可以是 。所以如果要用 来定义的话， 一个整数实际上是 中的一个等价类，也就是当 时，我们规定等价关系 。这样就可以定义 为所有等价类构成的集合。当然 是 的子集，因为自然数 相当于是 这个等价类。类似的方法可以构造 ：因为 允许分数存在，而且如果 ，就有 ，所以我们定义 ，其中当 时 。而整数 也可以等同于等价类 ，所以 也是 的子集。上面两次扩张，都是允许了某种新的运算，然后通过取等价类的方式来构造的。
那么 是允许了什么运算呢？答案是取极限。从事后诸葛亮的角度来看，如下序列
的极限是 ，但是现在我们只有 ，所以我们只能说，这个序列在 中是不收敛的。如果让所有像这样的序列都收敛到一个数，那想必就是 了。但并不是所有序列都收敛，比如
所以我们需要对序列加以限制，然后取某种等价类。限制后的序列被称为柯西列，定义如下：对于有理序列 ，满足对于任意 ，都存在一个 ，使得只要 ，就有 。直观来看，就是要求序列的尾部摆动趋于 。不难证明，收敛于有理数的序列都是柯西列，所以这可以说是 中收敛序列的自然推广。当然两个柯西列有可能收敛于同一个数，所以我们还需要等价关系 当且仅当 。这样所有柯西列组成的集合中的所有等价类就定义为 。所有的有理数 都等同于是常数柯西列 的等价类，所以 也是 的子集。这也可以解释一个对外行而言难以解答的问题 。 其实是柯西列 ，而 则是柯西列 。他们的差是序列 ，趋于 ，所以两个柯西列等价。
不过我们要注意一点，柯西列的定义依赖于 。当然这里的 的定义是平常意义上的绝对值。绝对值表示两个数之间的距离。在 中， 是越来越小的。但是我们看到，在上面的 进展开中，越来越小的却是 ，这就提示我们，应该更改这个距离的定义，我们暂且把这种新距离称为 ，称为 进度量。我们需要 越大， 就越小，所以一个自然的定义是 。其实底数不一定要是 ，取任何大于 的数都可以（他们决定的柯西列是完全一致的），之所以取 只是为了方便。当然，距离并不是随便取的，函数 需要满足三条性质才能叫做度量函数（这其实定义了域上的范数）：
当且仅当 ； ； ，也就是三角形法则，两边之和不小于第三边。
这样只要有距离函数，就能定义柯西列，就能定义新的域。这个过程被称为完备化，因为我们称任何柯西列都收敛的域为完备域。总结一下，就是说 的绝对值度量完备化得到 ，而 的 进度量完备化就定义为 ，就是我们想要的 进数域。我们甚至可以对 定义类似的距离，得到的完备化就是形式洛朗级数域 和 。所谓形式洛朗级数，就是形如一个洛朗级数的表达式 ，不过不用处理收敛问题。 则通过洛朗展开，嵌入到这些形式洛朗级数域中作为子集。
不过我们并不把 称为局部域，这是别的原因了，与本文无关。我们可以看到，这些嵌入关系与 进数非常相似。
既然任意给一个度量就能定义柯西列，那除了绝对值和 进度量之外，还有别的方法定义距离吗？答案是没有。在 中，任意一个满足上面三条性质的度量，都等价于绝对值或者是某个 进度量。也就是说，以上我们提到的就是所有 的完备化方案了。我们平常计算实数的时候倒并不会总是考虑柯西列，反而是小数展开更常用；同样，实际计算 进数的时候，更常用 进展开 。
运用以上构造，我们可以证明 当且仅当方程在 中有解。所以我们开篇提到的定理，就可以表述为： 在 中有解当且仅当其在所有 及 中有解。
我们自然而然会问，是不是任意给一个多项式方程，其存在有理解的条件都等同于存在实数解和所有 进数解？答案是否定的，有不少多项式不成立这个结论。这激发起了数学家们的好奇心：究竟哪些多项式有类似的性质呢？我们把这个方向称为局部—整体原则，直到今天，它所催生的新知识还在源源不断滋养着整个数论的研究。
跟现实有什么关系吗？
的确，数论是距离现实世界非常遥远的一个学科。近些年来，有部分数论被应用于密码学。而要直接应用于物理，以描述现实世界，并被大多数物理学家所接受，这样的工作目前还不多。
这从逻辑上其实是很奇怪的。 的完备化只有 和 ，但为什么我们今天的物理理论全都是用 及其代数闭包 描述的呢？ 进数与实数从逻辑上讲没有任何高下之分，他们都可以做导数，做积分，大多数你能想到的分析工具，都能平等地用到它们身上。那为什么我们生活在实数世界，而不是 进数世界呢？
还真有人想到了这种可能性。弦论中，弦扫过的世界面是用一维复流形（也就是黎曼面）描述的，但是如果把黎曼面换成是 进几何学中对应的概念，也能创造出一套弦论，称为 进弦论。目前来看，这方面的研究成果还处于玩具阶段。不过，这并不影响我们的好奇心。毕竟，我们仰望夜空，只是因为群星很美丽。
参考文献
[1] 加藤和也, 黑川信重, 斋藤毅. 数论I——Fermat的梦想和类域论.
[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.
出品：科普中国
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